Il segreto
dell'ala
Dal volo «impossibile» di Newton alla teoria della linea portante di Prandtl: due secoli per trasformare l'ala da mistero a oggetto di calcolo.
L'ala, simbolo di libertà
Fin dall'antichità l'uomo ha guardato all'ala con attenzione riverenziale: emblema della libertà dal vincolo terrestre, gli artisti la collocavano nella sfera del mitologico e del divino, mentre ogni tentativo di imitarla restava vano.
Soltanto da poco più di un secolo — «un batter di ciglia nella storia» — si è giunti a sfruttarne le potenzialità, aprendo le porte all'era del volo e, in breve, spingendosi oltre la velocità del suono. Ma per volare occorreva prima capire.
Una macchina a fluido
In meccanica, l'ala può essere catalogata come una macchina a fluido: per effetto del suo moto relativo rispetto all'aria genera una forza sostentatrice, a prezzo di una quota dell'energia spesa per il suo stesso moto.
Quella forza si scompone nella portanza $L$, perpendicolare al moto, che vince il peso, e nella resistenza $D$, parallela al moto, che il propulsore deve compensare. Macchina semplice all'apparenza, ma capace di efficienze elevatissime.
Eppure, sin dal XVIII secolo e malgrado i tentativi di eminenti uomini di scienza, l'interpretazione del suo funzionamento rimaneva ignota: non si era in grado di identificare il reale meccanismo di interazione tra l'ala e l'aria. Per questo si parlava de Il segreto dell'ala.
Anatomia di un profilo alare
Prima di seguire la storia, fissiamo i termini che ricorreranno in ogni capitolo, sul profilo che la storia stessa avrebbe reso possibile: un NACA 4412.
Il bordo d'attacco incontra per primo il flusso; il bordo d'uscita, aguzzo, è dove l'aria abbandona il profilo. La corda $c$ congiunge i due bordi. Il dorso (extradosso) e il ventre (intradosso) racchiudono lo spessore; la loro asimmetria è la curvatura (camber). L'angolo d'attacco $\alpha$, tra corda e vento relativo $V_\infty$, governa la portanza.
Tutta la storia che segue risponde a una domanda formulata in questi termini: come fa la forma di dorso e ventre, a un dato $\alpha$, a produrre la portanza $L$? Newton credette di saperlo. Si sbagliava.
Newton e la legge del seno quadrato
Newton (1726) era andato nella direzione giusta: la forza aerodinamica dipende dalla densità del fluido, dalla superficie esposta e dal quadrato della velocità relativa. Ne era però errata la dipendenza dal quadrato del seno dell'angolo d'attacco.
Nel modello a urti, l'aria è uno sciame di particelle che colpiscono il ventre della lastra cedendo la sola quantità di moto normale; il dorso non contribuisce. È l'errore: nel fluido reale il flusso non «urta», ma viene deflesso con continuità, e l'aspirazione sul dorso fornisce gran parte della portanza.
Per Newton la portanza nasceva quasi solo dall'urto sull'intradosso. Influenzati da lui, anche Helmholtz, Kirchhoff e Rayleigh (seconda metà dell'Ottocento) continuarono a supporre che la forza portante dipendesse dall'impatto dell'aria sotto l'ala, separandosi dal dorso. Le conclusioni sul volo umano restavano negative.
Il modello del $\sin^2$ ha avuto un ritorno d'interesse nel flusso ipersonico: per lo Shuttle al rientro, a circa 60 km di quota e Mach 20, in aria rarefatta e con onda d'urto molto obliqua il flusso è quasi parallelo alla parete — proprio l'ipotesi di Newton.
Lilienthal e i profili curvi
Nel suo libro del 1889, Il volo degli uccelli come base dell'arte del volo, Lilienthal considerava quasi scandaloso che la conoscenza dei principi meccanici del volo fosse così arretrata. Coadiuvato dal fratello Gustav, realizzò dispositivi per misurare la forza aerodinamica su ali di varia forma.
Il confronto fra sezioni alari mise in chiara luce il vantaggio delle superfici a sezione curva (con curvatura, o camber) rispetto a quelle piane. Se contasse solo l'impatto sul ventre, la forma del dorso sarebbe irrilevante: invece il dorso «lavora».
Dal primo libratore (1891) effettuò circa duemila lanci. Nell'agosto 1896 un incidente, attribuito a uno stallo dell'ala, gli costò la vita. Dal 1894 era in corrispondenza con Octave Chanute, che trasmise i suoi studi ai fratelli Wright.
I Wright riconobbero quel debito anche in una lettera del 1911 alla vedova, Agnes Lilienthal, accompagnata da un assegno: lo definirono «un grande uomo».
I fratelli Wright
A Dayton (Ohio), Wilbur e Orville lavorarono con ferrea determinazione, tutt'altro che da dilettanti: si rivolsero perfino alla Smithsonian Institution. Scelsero di separare la sostentazione dalla propulsione, affidando quest'ultima a un organo rotatorio — l'elica. I loro libratori, biplani (configurazione di Chanute) con pilota prono, montavano uno stabilizzatore anteriore (canard) per prevenire lo stallo che era costato la vita a Lilienthal.
Le prime prove a Kitty Hawk (1900–1901) furono deludenti: la portanza era molto inferiore a quella calcolata con le tavole esistenti, in cui — scrisse Wilbur — «verità ed errori sono così mescolati da risultare indistinguibili». Esperti costruttori di biciclette, realizzarono allora un tunnel aerodinamico ante-litteram e provarono oltre duecento ali, mettendo in luce il rapporto tra apertura e corda — l'allungamento alare. Nel 1902 il successo fu pieno; il 17 dicembre 1903 il Flyer compì il primo volo a motore della storia.
Con peso $350\ \mathrm{kg}$, superficie $46{,}5\ \mathrm{m^2}$ (carico alare $7{,}3\ \mathrm{kg/m^2}$) e velocità $\approx 50\ \mathrm{km/h}$, il coefficiente di portanza reale risulta $C_L \approx 0{,}6$. La formula di Newton, adeguandone i riferimenti, dà $\approx 0{,}03$: circa un ventesimo. In questo divario si celava il segreto.
L'effetto Magnus
L'imbeccata venne da un fenomeno noto nell'Ottocento, l'effetto Magnus, che dimostrava l'esistenza di una forza perpendicolare al moto: la stessa che deviava i proiettili d'artiglieria messi in rotazione dalla rigatura delle canne e le palle da tennis «tagliate». Lord Rayleigh ne diede spiegazione in un lavoro del 1878, On the irregular flight of a tennis-ball.
La chiave era un teorema di Daniel Bernoulli (1700–1782): lo scambio fra energia di pressione ed energia cinetica nella corrente. Il flusso attorno al cilindro si ottiene per sovrapposizione di flussi potenziali elementari, con e senza moto circolatorio — quest'ultimo modellato come vortice di Rankine (1820–1872), con nucleo rotante e velocità tangenziale inversamente proporzionale al raggio.
Sopra il cilindro la velocità della corrente si somma a quella tangenziale; sotto si sottrae. Per Bernoulli ne risulta depressione sul dorso e sovrappressione sul ventre: una forza perpendicolare al moto.
Queste evidenze indirizzarono il pensiero verso un legame di causa-effetto fra moto circolatorio e portanza. A coglierlo furono, l'uno indipendentemente dall'altro, il tedesco Kutta, il russo Joukowski e l'inglese Lanchester.
Kutta e la circolazione
Professore di matematica a Stoccarda, affascinato dai voli di Lilienthal, Kutta cercò un metodo per calcolare la portanza dei profili curvi. Il suo merito fu intuire che la circolazione dell'effetto Magnus poteva stabilirsi anche attorno a una sezione alare non rotante. Si servì delle trasformazioni conformi (numeri complessi), che conservano l'ortogonalità tra linee di corrente ed equipotenziali: trasformava un cilindro in un segmento o in un arco, aggiungendovi la circolazione.
Studiando il flusso attorno a una lastra e a un arco, evidenziò il ruolo dei punti di ristagno: senza circolazione si dispongono in modo simmetrico e la forza è nulla; aggiungendo la circolazione che porta il ristagno posteriore sul bordo d'uscita (condizione di Kutta) nasce la portanza. Ciò richiede, come nei profili di Lilienthal, un bordo d'attacco raccordato e un bordo d'uscita aguzzo.
Nel suo lavoro del 1902 Kutta scoprì la possibilità della circolazione attorno al profilo — e quindi il meccanismo della portanza — ma non ne fornì alcuna relazione matematica. Restava anche da spiegare come la circolazione si formasse fisicamente.
Come nasce la circolazione
All'avvio del moto si stabilisce un flusso potenziale che tende a girare attorno al bordo d'uscita per raggiungere il punto di ristagno posteriore. Lì la velocità è teoricamente infinita, nulla al ristagno: il gradiente di pressione, su distanza piccola, è elevatissimo e contrario al moto.
In un fluido reale interviene la viscosità: l'attrito fa separare la corrente e formare, al bordo d'uscita, un vortice che s'ingrossa finché i flussi dai due lati non si congiungono a pari velocità — realizzando in modo naturale la condizione di Kutta.
È la prova straordinaria che il modello matematico trova conferma nella realtà fisica: la condizione di Kutta — pura ipotesi matematica — si realizza concretamente per effetto della viscosità.
Joukowski e il teorema fondamentale
Professore di meccanica a Mosca, nel 1906 Joukowski enunciò per la prima volta il teorema che lega circolazione e portanza, mancante fino ad allora. Non conosceva Kutta né la sua pubblicazione del 1902: per riconoscimento, il teorema porta il nome di entrambi.
Anche Joukowski usò le trasformate conformi, in modo più articolato. Una trasformazione conforme fa corrispondere a ogni punto di un piano complesso un punto di un altro piano, conservando gli angoli fra le curve: applicata ai flussi potenziali, conserva l'ortogonalità fra linee di corrente ed equipotenziali. Joukowski ne inventò una capace di trasformare un cerchio in un vero profilo alare.
Nella figura originale di Joukowski comparivano tre cerchi con un solo punto in comune in $+a$: al cerchio tratteggiato corrisponde il segmento della corda, al punto l'arco che definisce la curvatura, al cerchio pieno il contorno del profilo. Si otteneva un bordo d'attacco arrotondato e un bordo d'uscita aguzzo costituito da una cuspide — difficoltà teorica e pratica poi rimossa da Trefftz e Kármán. Era, per la prima volta, la geometria di un vero profilo alare: «una vera magia».
▶ Apri il generatore interattivo di profili Joukowski →Joukowski dimostrò che si può generare portanza efficiente anche con profili di forte spessore: ciò permette di alloggiare all'interno dell'ala longheroni e centine, eliminando i tiranti esterni (grande fonte di resistenza). Fu Hugo Junkers a propugnare per primo questa idea. Nasce qui la sfida propria della progettazione aeronautica: sposare la forma aerodinamica con la robustezza strutturale.
Lanchester e l'ala finita
Ingegnere inglese, esperto di motori e automobili, nel 1894 — poco più che ventenne — Lanchester sviluppò idee innovative sulla teoria circolatoria della portanza e sul complesso sistema vorticoso dell'ala finita, fornendone un disegno schematico sorprendentemente aderente a quanto si sarebbe scoperto.
I suoi lavori non furono accettati dalla Royal Society né dalla Physical Society; solo nel 1907 e 1908 uscirono i suoi due libri, poi celebri, Aerodynamics e Aerodonetics. Aveva iniziato a sollevare il velo del segreto anni prima che i Wright volassero, ma la disattenzione del mondo scientifico — già lamentata da Lilienthal — ne ignorò le idee, come quelle di Kutta e Joukowski, fino all'arrivo di Prandtl.
Helmholtz e Biot–Savart
Il passaggio all'ala finita chiamava in causa le leggi del moto vorticoso, dovute a Hermann von Helmholtz (1821–1894), un homo universalis — medico, fisiologo, fisico e matematico.
A questi teoremi si aggiunse la legge dell'induzione vorticosa, in perfetta analogia con l'elettrodinamica (da cui il nome di Biot–Savart): essa consente di calcolare la velocità che un elemento di filetto vorticoso induce in un dato punto della corrente. È lo strumento che mancava per il calcolo dell'ala finita.
Prandtl: linea portante e resistenza indotta
Professore a Gottinga, maestro di Theodore von Kármán, Prandtl ebbe il dono di tradurre i fenomeni fisici in forma matematica; a lui si deve anche la teoria dello strato limite, che aprì alla comprensione degli effetti della viscosità. Aveva tutte le tessere: la circolazione (Kutta), il teorema $L'=\rho_\infty V_\infty\Gamma$ (Joukowski), la scia 3D (Lanchester), le leggi dei vortici (Helmholtz) e la legge di Biot–Savart.
Concepì uno schema semplice: l'ala come una linea vorticosa portante, perpendicolare al volo, con circolazione $\Gamma(y)$ variabile. Per Helmholtz, ogni variazione $d\Gamma/dy$ stacca un filetto vorticoso libero verso valle; la forza sulle sezioni si ricava da Kutta–Joukowski.
I vortici inducono in corrispondenza dell'ala una velocità discendente (downwash) che inclina la corrente locale di un angolo indotto $\alpha_i$: la portanza, perpendicolare alla corrente locale, si inclina all'indietro e la sua proiezione nel verso del moto è la resistenza indotta.
L'ala ellittica e la resistenza minima
Determinare la portanza lungo l'apertura richiede la soluzione di un'equazione integrale — affrontata per serie, con metodi grafici o, oggi, con il calcolo automatico (la moderna CFD).
Il tassello decisivo lo pose Max Munk, allievo di Prandtl: se la portanza segue lungo l'apertura una legge ellittica, l'angolo di incidenza indotta è costante lungo tutta l'apertura e la resistenza indotta è la minima possibile.
$C_{D_i}$ cala all'aumentare dell'allungamento $A\!R$: ecco perché gli alianti hanno ali lunghe e strette ($A\!R$ anche $>25$). Distribuzioni diverse (ala rettangolare) restringono il tubo di flusso e aumentano $D_i$; schermi marginali, up-turned wing tip e winglets spostano il vortice d'estremità e la riducono. La formula biplana e triplana (il celebre triplano di von Richthofen) fu infine soppiantata dal monoplano, più efficiente non appena i profili spessi consentirono strutture interne robuste.
Dal segreto all'ingegneria
Agli inizi degli anni Venti erano poste le basi di una promettente ingegneria aeronautica. Sorsero le grandi gallerie del vento a densità variabile, per studiare serie sistematiche di profili ad alto numero di Reynolds, e i laboratori per i nuovi materiali e tipi strutturali — le leghe di alluminio e le strutture a guscio. Spesso quei risultati erano classificati come segreto militare.
L'autore di questa lezione, il progettista Luigi Pascale, ne fu testimone diretto. All'Università di Napoli, dove era assistente del generale Umberto Nobile all'Istituto di Costruzioni Aeronautiche, ottenne — grazie all'autorità di Nobile, presso l'USIS — l'intera raccolta dei NACA Technical Reports, compreso quello, riservato, sui profili a flusso laminare del caccia North American P-51 Mustang.
Anni dopo, con quei profili laminari, Pascale realizzò il velivolo Partenavia P55, ottenendo performance eccezionali: la lunga catena che parte da Newton si chiude, concretamente, su un'ala progettata e costruita.
L'omaggio finale va a Frederick Lanchester, il primo a intuire il vero funzionamento dell'ala. Si narra che, giovane in viaggio verso l'America, contemplando i gabbiani planare a lungo sulle correnti con le grandi ali bianche, gli balenò in mente il lampo che gli illuminò la strada per carpire Il segreto dell'ala.
Il segreto svelato
Da Newton a Prandtl, la comprensione dell'ala è passata da un'ipotesi qualitativamente errata a un modello matematico solido e predittivo.
«L'uomo ha imparato a volare solo quando ha compreso le leggi del fluido che lo sostiene. La fisica, in aeronautica, non fa sconti.»